Από την προσομοίωση
στις μετρήσεις και στο Excel

Εργάζεσαι στο Ψηφιακό Εργαστήριο Αρμονικού Ταλαντωτή. Μία μάζα κινείται δεμένη σε ιδανικό ελατήριο χωρίς απόσβεση, τριβή ή εξωτερική διέγερση. Η αναλυτική λύση Exact είναι η αναφορά. Οι τέσσερις αριθμητικές μέθοδοι είναι Explicit Euler (ρητή), Symplectic Euler (συμπλεκτική ή ημιπεπλεγμένη), Velocity Verlet και Runge–Kutta 4 (RK4). Η Exact δεν είναι πέμπτη αριθμητική μέθοδος στην πειραματική σύγκριση.

Στόχος είναι να απαντήσεις με δεδομένα: πόσο αλλάζει το σφάλμα όταν μικραίνει το χρονικό βήμα; Πόσο αυξάνεται το υπολογιστικό έργο; Αρκεί η καλή διατήρηση ενέργειας για να είναι σωστή η περίοδος και η φάση; Οι οδηγίες ακολουθούν το πρωτόκολλο και τους υπολογισμούς του πειραματικού μέρους της εργασίας «Όταν τα Μαθηματικά προβλέπουν την κίνηση».

Το αρνητικό πρόσημο της επιτάχυνσης δηλώνει ότι το ελατήριο έλκει τη μάζα προς την ισορροπία. Η ενέργεια είναι άθροισμα κινητικής και δυναμικής. Στο ιδανικό μοντέλο παραμένει σταθερή. Αν η αριθμητική ενέργεια αλλάζει, παρατηρούμε σφάλμα της προσέγγισης, όχι φυσική απόσβεση. Χρησιμοποιούμε P για την περίοδο και T για τα 60 s, ώστε να μη συγχέονται δύο διαφορετικοί χρόνοι.

Για m=k=x₀=1 και v₀=0 η Exact απλοποιείται σε x(t)=cos(t), v(t)=−sin(t), E₀=0,5 J. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούν ακτίνια (rad), όχι μοίρες.

Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το Δt όταν εξετάζουμε μία μέθοδο. Σε κάθε σταθερό Δt συγκρίνουμε τις τέσσερις μεθόδους. Οι ελεγχόμενες μεταβλητές είναι m, k, x₀, v₀, T. Οι εξαρτημένες μετρήσεις είναι τα σφάλματα, η περίοδος/φάση και το κόστος. Δεν αλλάζουμε μάζα ή αρχική ταχύτητα μαζί με το Δt, γιατί τότε δεν ξέρουμε ποιος παράγοντας προκάλεσε τη διαφορά.

Το Step είναι ο ακέραιος δείκτης n, όχι χρόνος. Για h=0,1 το Step 30 είναι t=3 s και η γραμμή του στο Excel είναι 32. Στη γραμμή 2 βρίσκεται το αρχικό δείγμα Step 0. Σε γενική διάρκεια που δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του h, η εφαρμογή μπορεί να χρησιμοποιεί μικρότερο τελικό βήμα· οι συγκεκριμένες έξι σειρές αποφεύγουν αυτή την περίπτωση.

Οργάνωση τάξης: κάθε ομάδα μπορεί να αναλάβει ένα από τα έξι Δt. Όλοι πρώτα κάνουν το κοινό παράδειγμα Δt=0,1. Έπειτα συγκεντρώνουν τέσσερις γραμμές ανά ομάδα: 6×4=24 συνδυασμούς. Δεν χρειάζονται 24 ξεχωριστές εξαγωγές, διότι μία εξαγωγή περιέχει όλες τις επιλεγμένες μεθόδους.

Μετά το Apply τα αποτελέσματα έχουν υπολογιστεί πριν ολοκληρωθεί το animation. Το Save Data εξάγει το υπολογισμένο αποτέλεσμα και δεν απαιτεί να περιμένεις 60 πραγματικά δευτερόλεπτα αναπαραγωγής. Αν διαβάζεις τον πίνακα Summary της οθόνης κατά την αναπαραγωγή, μπορεί να βλέπεις μόνο το ιστορικό μέχρι το τρέχον t. Πάντα έλεγξε το τελευταίο Time_s στο CSV και τα Steps στο summary.

Αν όλα άνοιξαν στη στήλη Α, κάνε νέα εισαγωγή με τη σωστή επιλογή Delimiter. Εναλλακτικά, σε αντίγραφο του αρχείου: επίλεξε Α → Δεδομένα → Κείμενο σε στήλες / Text to Columns → Delimited → μόνο το σωστό διαχωριστικό, και έλεγξε Advanced για το δεκαδικό σύμβολο. Μην κάνεις μαζική αντικατάσταση όλων των κομμάτων: μπορεί να καταστρέψεις αριθμούς ή διαχωριστικά.

Μορφοποίησε μικρά σφάλματα ως Επιστημονική / Scientific με 6–8 δεκαδικά στην εμφάνιση. Για παράδειγμα 4,849490E−05 σημαίνει 4,849490×10⁻⁵. Η εμφάνιση δεν αλλάζει την αποθηκευμένη τιμή. Οι στήλες που ήδη περιέχουν αριθμό επί 100 έχουν μονάδα % στην επικεφαλίδα: ΜΗΝ τους βάλεις επιπλέον μορφοποίηση Percentage, γιατί το Excel θα τις πολλαπλασιάσει ξανά επί 100 στην εμφάνιση.

Οι παρακάτω διευθύνσεις ισχύουν όταν εξάγονται όλες οι μέθοδοι και όλες οι ποσότητες στην τρέχουσα διάταξη. Αν λείπει μέθοδος/πεδίο ή η επικεφαλίδα διαφέρει, κάνε πλήρη εξαγωγή πριν συνεχίσεις. Το Time_s είναι στη Β, το Step στην Α. Σε κάθε μέθοδο ακολουθούν θέση, ταχύτητα, ενέργεια, απόλυτο σφάλμα θέσης και προσημασμένη ενεργειακή απόκλιση επί 100.

Παράδειγμα επικεφαλίδας: ExplicitEuler_Position_m στη H1, Exact_Position_m στη C1. Η θέση μπορεί να είναι αρνητική· το PositionError_m είναι απόλυτη διαφορά και δεν είναι αρνητικό. Η EnergyError_percent μπορεί να είναι αρνητική αν η ενέργεια είναι μικρότερη από E₀.

Για Euler στο πρώτο βήμα: |eₓ|=|1−0,995004165278…|=0,004995834722… m. Η απόκλιση ενέργειας είναι 100(0,505−0,5)/0,5=1%. Αυτά είναι στιγμιαία σφάλματα στο t=0,1· δεν είναι τα μέγιστα όλης της προσομοίωσης.

Πρόσθεσε νέο φύλλο και ονόμασέ το ακριβώς Params. Βάλε τις ετικέτες στη στήλη Α και τις τιμές/τύπους στη Β στις παρακάτω γραμμές. Το παράδειγμα αφορά h=0,1. Όταν ανοίξεις δεδομένα άλλου run, άλλαξε τη B7 και έλεγξε το JSON. Μην αλλάξεις τις άλλες παραμέτρους.

Το SQRT υπολογίζει τετραγωνική ρίζα. Το PI() δίνει το π. Το ROUND(...;0) εδώ διορθώνει μόνο πιθανό αριθμητικό υπόλοιπο στο ακέραιο T/h· δεν είναι γενικός κανόνας για αυθαίρετο μη ακέραιο T/h. Στις συγκεκριμένες έξι σειρές το πηλίκο είναι ακέραιο.

Το Params!$B$2 σημαίνει «πάρε πάντα τη μάζα από το B2 του Params». Τα δύο $ κρατούν σταθερά στήλη και γραμμή όταν γεμίζεις προς τα κάτω. Αντίθετα, H2 γίνεται H3 στην επόμενη γραμμή, ώστε να διαβάζεται η νέα θέση. Δεν βάζουμε $ στη γραμμή ενός δείγματος όταν θέλουμε να αλλάζει ο χρόνος.

Βάλε επικεφαλίδες Exact_check_x και Exact_check_v στα AV1 και AW1 και γέμισε ως τη γραμμή 602. Σύγκρινε με C και D. Χρησιμοποιούμε χρόνο από B2, όχι τον δείκτη A2. Μικρές διαφορές στα τελευταία ψηφία μπορούν να προκύπτουν από στρογγυλοποίηση της εξαγωγής και τις υλοποιήσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Χρειαζόμαστε το qₙ για το RMSE. Χρειαζόμαστε και το προσημασμένο dₙ για να δούμε αν η ενέργεια αυξήθηκε ή μειώθηκε, αλλά και το απόλυτο aₙ για να βρούμε τη μεγαλύτερη απόκλιση ανεξάρτητα από πρόσημο. Δεν παίρνουμε απόλυτη τιμή της ίδιας της θέσης: αρνητική θέση είναι φυσιολογική.

Explicit Euler — στήλες AB:AF

Στη γραμμή 1 βάλε, αντίστοιχα, τις επικεφαλίδες err_x, err_x_squared, energy_check_J, energy_signed_percent, energy_abs_percent με πρόθεμα το όνομα της μεθόδου. Γράψε τους πέντε τύπους στη γραμμή 2.

Symplectic Euler — στήλες AG:AK

Στη γραμμή 1 βάλε, αντίστοιχα, τις επικεφαλίδες err_x, err_x_squared, energy_check_J, energy_signed_percent, energy_abs_percent με πρόθεμα το όνομα της μεθόδου. Γράψε τους πέντε τύπους στη γραμμή 2.

Velocity Verlet — στήλες AL:AP

Στη γραμμή 1 βάλε, αντίστοιχα, τις επικεφαλίδες err_x, err_x_squared, energy_check_J, energy_signed_percent, energy_abs_percent με πρόθεμα το όνομα της μεθόδου. Γράψε τους πέντε τύπους στη γραμμή 2.

RK4 — στήλες AQ:AU

Στη γραμμή 1 βάλε, αντίστοιχα, τις επικεφαλίδες err_x, err_x_squared, energy_check_J, energy_signed_percent, energy_abs_percent με πρόθεμα το όνομα της μεθόδου. Γράψε τους πέντε τύπους στη γραμμή 2.

Το IF(συνθήκη;αν_ισχύει;αν_δεν_ισχύει) επιλέγει τι θα υπολογιστεί. Το COUNT μετρά αριθμητικές τιμές. Αν λείπει x ή v ή αν οι τιμές εισήχθησαν ως κείμενο, το NA() εμφανίζει #N/A: σταματάμε και διορθώνουμε την εισαγωγή. Δεν μετατρέπουμε σιωπηρά το κενό σε μηδενικό σφάλμα. Στο κύριο πλήρες πείραμα δεν πρέπει να υπάρχει τέτοιο κενό.

Το μέγιστο δείχνει το χειρότερο δείγμα. Το RMSE περιγράφει τη συνολική απόκλιση: τετραγωνίζουμε για να μη σβήνονται μεταξύ τους θετικά και αρνητικά σφάλματα, βρίσκουμε τον μέσο όρο και παίρνουμε ρίζα για να επιστρέψουμε σε μέτρα. Η αρχική εγγραφή συμμετέχει, άρα εδώ διαιρούμε με 601 και όχι 600. Η εφαρμογή ακολουθεί την ίδια σύμβαση. Το MAX των θετικών μόνο dₙ δεν αρκεί: μπορεί να χάσει μεγάλη αρνητική ενεργειακή απόκλιση.

Δημιούργησε φύλλο Metrics. Στη γραμμή 1 γράψε A:Method, B:h_s, C:Steps, D:Samples, E:MaxError_m, F:RMSE_m, G:MaxEnergy_percent, H:EvaluationsPerStep, I:AccelerationEvaluations. Βάλε τις τέσσερις μεθόδους στις γραμμές 2–5 όπως παρακάτω. Οι τύποι είναι για το κοινό παράδειγμα h=0,1, γραμμές Data 2:602.

Πριν χρησιμοποιήσεις τις μετρικές, επιβεβαίωσε Samples=601 και Steps=600 και στις τέσσερις γραμμές, με τελευταίο χρόνο Data!B602=60. Για άλλο Δt άλλαξε όλα τα άκρα περιοχών, όχι μόνο το πλήθος βημάτων. Το AVERAGE αγνοεί κενά/κείμενο· γι’ αυτό ο έλεγχος πλήθους είναι ουσιώδης και οι τύποι του κεφαλαίου 09 εμφανίζουν #N/A όταν λείπουν τιμές.

Για τις πυκνές σειρές h=0,001 και 0,0001, κράτησε όλα τα πρωτογενή αρχεία, αλλά εισήγαγε αρχικά μόνο τα μικρά summary. Στα 0,0001 υπάρχουν 600001 δείγματα και περίπου 16,2 εκατομμύρια raw αριθμητικά κελιά. Το φύλλο χωρά έως 1048576 γραμμές, αλλά η μνήμη μπορεί να μην αρκεί για πολλές τέτοιες σειρές και πρόσθετους τύπους. Ένα βιβλίο ανά Δt, χωρίς ένωση όλων των μεθόδων σε μία πολύ μακριά λίστα, είναι πρακτικότερο. Τα summary υπολογίζονται από ΟΛΑ τα δείγματα, όχι από αραιωμένα σημεία γραφημάτων.

Δημιούργησε βιβλίο Study.xlsx με φύλλο Study. Στη γραμμή 1 βάλε τις στήλες του επόμενου πίνακα. Για κάθε run πάρε B από το JSON, C:D:E:F από την αριθμητική γραμμή του summary όπως αντιστοιχίζονται παρακάτω. Αντέγραψε αριθμητικές τιμές, όχι screenshots. Κράτησε το αρχικό όνομα αρχείου στη L. Το CSV του summary δεν περιέχει το Δt ως ξεχωριστή στήλη, άρα είναι απαραίτητη η αντιστοίχιση με το JSON του ίδιου run.

Ταξινόμησε ανά μέθοδο και, μέσα σε κάθε μέθοδο, κατά φθίνουσα B: 0,2, 0,1, 0,05, 0,025, 0,001, 0,0001. Χρησιμοποίησε αυτή τη σειρά: Euler γραμμές 2–7, Symplectic 8–13, Verlet 14–19, RK4 20–25. Οι συγκρίσεις πρέπει να γίνονται ΜΟΝΟ ανάμεσα σε δύο βήματα της ίδιας μεθόδου.

Παράδειγμα Verlet από 0,1 σε 0,05: 0,0242343612243 / 0,00605557382854 ≈ 4,002, άρα p≈2,0007. Στην RK4 η μείωση είναι περίπου 16 και p≈4, ενώ οι Euler τείνουν σε p≈1 στα αρκετά μικρά βήματα. Οι πρώτες μεγάλες μειώσεις της ρητής Euler δεν αποδεικνύουν τέταρτη τάξη: η μακρόχρονη ενεργειακή αύξηση στα χονδρά βήματα αλλοιώνει τη συμπεριφορά έξω από την ασυμπτωτική περιοχή.

Κάθε αξιολόγηση επιτάχυνσης υπολογίζει a(x)=−(k/m)x. Στη συγκεκριμένη υλοποίηση η Verlet αξιολογεί δύο επιταχύνσεις σε κάθε βήμα και η RK4 τέσσερις. Αυτοί οι συντελεστές αφορούν τον κώδικα του εργαστηρίου: μια διαφορετική Verlet με επαναχρησιμοποίηση της προηγούμενης επιτάχυνσης θα είχε διαφορετική καταμέτρηση. Το Cₐ δεν μετρά όλες τις εντολές της CPU, τα γραφήματα ή την Exact που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο σφάλματος.

Για T=60, h=0,1: N=600 και Cₐ=(600,600,1200,2400). Αν υποδιπλασιάσουμε το h, διπλασιάζεται το N και το Cₐ της ίδιας μεθόδου. Το κόστος ανά βήμα δεν αλλάζει. Δεν γράφουμε «η RK4 είναι τέσσερις φορές πιο αργή» μόνο από το sₘ=4: ο χρόνος εκτέλεσης χρειάζεται ξεχωριστή μέτρηση.

Στο Metrics του h=0,1 μπορείς να αναπαράγεις τους λόγους του paper με τους παρακάτω τύπους. Αν ο αριθμητής είναι το σφάλμα μιας μεθόδου και ο παρονομαστής το μικρότερο σφάλμα άλλης, το αποτέλεσμα δείχνει πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το πρώτο, όχι ποσοστό.

Μια επιλογή κυριαρχείται αν υπάρχει άλλη με κόστος όχι μεγαλύτερο και σφάλμα όχι μεγαλύτερο, με τουλάχιστον ένα από τα δύο αυστηρά μικρότερο. Οι μη κυριαρχούμενες επιλογές σχηματίζουν το μέτωπο Pareto. Το ποια θα διαλέξεις εξαρτάται από το επιτρεπτό σφάλμα και τον διαθέσιμο προϋπολογισμό έργου.

Η φάση περιγράφει σε ποιο σημείο του κύκλου βρίσκεται η ταλάντωση. Το ζεύγος (x,−v/ω) έχει ίδιες μονάδες στους δύο άξονες. Η atan2 δίνει τη γωνία του διανύσματος και ξεχωρίζει σωστά τα τεταρτημόρια. Για x=cos(t), v=−sin(t), η συνεχής φάση είναι t. Η γωνία θ που επιστρέφεται αρχικά περιορίζεται περίπου μεταξύ −π και π. Όταν η κίνηση ξεπερνά το π, η θ πηδά κοντά στο −π, παρότι η ταλάντωση είναι συνεχής.

Δημιούργησε νέο φύλλο Phase. Στη γραμμή 1 βάλε A:Time_s, B:Exact_wrapped, C:Exact_unwrapped, D:Euler_wrapped, E:Euler_unwrapped, F:Euler_delta, G:Euler_abs, H:Symplectic_wrapped, I:Symplectic_unwrapped, J:Symplectic_delta, K:Symplectic_abs, L:Verlet_wrapped, M:Verlet_unwrapped, N:Verlet_delta, O:Verlet_abs, P:RK4_wrapped, Q:RK4_unwrapped, R:RK4_delta, S:RK4_abs.

Τι κάνει ο τύπος unwrap; Αφαιρεί δύο διαδοχικές γωνίες. Αν η διαφορά είναι μεγαλύτερη από π, αφαιρεί 2π. Αν είναι μικρότερη από −π, προσθέτει 2π. Διαφορετικά κρατά τη διαφορά. Την προσθέτει στην προηγούμενη συνεχή φάση. Παράδειγμα: από θ=3,10 σε θ=−3,08 η ακατέργαστη διαφορά είναι −6,18 rad, ενώ η διορθωμένη είναι περίπου +0,10319 rad. Η φάση συνεχίζει να αυξάνεται αντί να κάνει τεχνητό άλμα.

Θετική Δφ σημαίνει προπορεία, αρνητική υστέρηση, με αυτή τη σύμβαση. Η μέγιστη απόλυτη απόκλιση δεν είναι πάντα το απόλυτο της τελικής: για Symplectic είναι περίπου 0,0741750 rad και για Verlet 0,0252189 rad. Σχεδίασε Δφ έναντι t για να δεις όλη τη διαδρομή. Η φάση δεν εξάγεται ως έτοιμη στήλη στο τρέχον CSV· την υπολογίζεις από x και v.

Η περίοδος είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων της ίδιας κατάστασης. Θα χρησιμοποιήσουμε διελεύσεις x=0 από αρνητική προς μη αρνητική θέση: xᵢ<0 και xᵢ₊₁≥0. Αν μετρούσαμε εναλλάξ κάθε μηδενισμό χωρίς φορά, θα βρίσκαμε περίπου μισή περίοδο. Επειδή τα δείγματα σπάνια πέφτουν ακριβώς στο μηδέν, παρεμβάλλουμε μια ευθεία ανάμεσα στα δύο γειτονικά σημεία.

Παράδειγμα παρεμβολής: αν στο t=4,7 έχουμε x=−0,02 και στο 4,8 έχουμε x=0,08, το μηδέν είναι στο 4,7−(−0,02)·0,1/0,10=4,72 s. Δεν παίρνουμε απλώς 4,8 s, γιατί θα εισαγάγαμε σφάλμα έως σχεδόν ένα χρονικό βήμα.

Δημιούργησε φύλλο Period. Στη γραμμή 1 γράψε A:Exact_crossing_s, B:Euler_crossing_s, C:Symplectic_crossing_s, D:Verlet_crossing_s, E:RK4_crossing_s. Οι ακόλουθοι τύποι στη γραμμή 2 εξετάζουν το ζεύγος γραμμών 2 και 3 του Data. Συμπλήρωσέ τους έως τη γραμμή 601, όχι 602: η τελευταία σύγκριση πρέπει να είναι Data 601 με 602.

Κενό εδώ σημαίνει «δεν υπάρχει διέλευση σε αυτό το διάστημα», όχι μηδενικός χρόνος. Οι αριθμητικές τιμές είναι οι t*. Στο h=0,1 περιμένουμε 9 θετικές διελεύσεις για κάθε μέθοδο, δηλαδή 8 πλήρεις περιόδους ανάμεσα στην πρώτη και την τελευταία. Για Exact η πρώτη είναι περίπου 4,7124 s, όχι π/2: το π/2 είναι διέλευση με αντίθετη φορά.

Για να υπολογίσεις τις διαδοχικές περιόδους χωρίς χειροκίνητη επιλογή, βάλε G1:Ordinal και G2=1, G3=G2+1, συμπλήρωσε ως G10=9. Βάλε H1:Exact_times, I1:Euler_times, J1:Symplectic_times, K1:Verlet_times, L1:RK4_times.

Το SMALL(περιοχή;k) επιστρέφει τον k-οστό μικρότερο αριθμό και αγνοεί τα κενά κείμενα. Οι χρόνοι αυξάνονται, άρα φτιάχνει την ταξινομημένη λίστα διελεύσεων. Αν λείπει αναμενόμενη διέλευση, το #N/A μας προειδοποιεί αντί να εμφανιστεί ψευδές αποτέλεσμα.

Βάλε N1:Exact_periods, O1:Euler_periods, P1:Symplectic_periods, Q1:Verlet_periods, R1:RK4_periods. Γράψε N2=H3-H2, O2=I3-I2, P2=J3-J2, Q2=K3-K2, R2=L3-L2. Συμπλήρωσε N2:R9: αυτές είναι οι οκτώ περίοδοι. Στο N11 γράψε =AVERAGE(N2:N9) και αντίστοιχα O11 έως R11. Μην γεμίσεις έως γραμμή 10 γιατί δεν υπάρχει δέκατη διέλευση.

Θετική ΔP σημαίνει μεγαλύτερη περίοδο (πιο αργή ολοκλήρωση κύκλου), αρνητική μικρότερη. Η περιορισμένη ενεργειακή απόκλιση δεν εγγυάται σωστή φάση ή περίοδο. Αν αλλάξεις διάρκεια/βήμα, επανυπολόγισε το πλήθος διελεύσεων και προσαρμόζεις τα όρια της λίστας και των μέσων όρων· οι γραμμές 10 και 9 εδώ προκύπτουν από το συγκεκριμένο h=0,1, T=60.

Η διακοπή συμβαίνει στο πρώτο ΔΙΑΚΡΙΤΟ δείγμα που υπερβαίνει αυστηρά το όριο, όχι σε παρεμβαλλόμενο ενδιάμεσο χρόνο. Η γραμμή που το υπερβαίνει περιλαμβάνεται στα αποτελέσματα. Οι υπόλοιπες μέθοδοι συνεχίζουν. Στο κοινό timeseries οι στήλες Euler έχουν κενά μετά τη διακοπή· αυτά δεν είναι μηδενικές θέσεις ή μηδενικά σφάλματα.

Φτιάξε ξεχωριστό βιβλίο Threshold.xlsx και εισήγαγε το timeseries του πειράματος ως Data. Στο AB1 βάλε Euler_exceeds. Στο AB2 γράψε τον επόμενο τύπο και συμπλήρωσε ως AB602. Το COUNT επιτρέπει να μείνουν κενές οι ανύπαρκτες εγγραφές μετά τη διακοπή.

Το MATCH βρίσκει τη θέση του πρώτου 1 μέσα στην περιοχή, με ακριβή αντιστοίχιση (τελευταίο όρισμα 0). Το INDEX επιστρέφει τον χρόνο στην ίδια σχετική θέση της στήλης B. Για άλλες μεθόδους χρησιμοποίησε αντί K τη P, U ή Z σε ξεχωριστή βοηθητική στήλη. Το No crossing σημαίνει ότι δεν παρατηρήθηκε υπέρβαση στο εξεταζόμενο διάστημα, όχι ότι αποκλείεται σε οποιονδήποτε μελλοντικό χρόνο.

Για error–h και error–cost μπορείς να κάνεις και τους δύο άξονες λογαριθμικούς: δεξί κλικ στον άξονα → Μορφοποίηση άξονα → Logarithmic scale, βάση 10. Δεν εφαρμόζουμε log σε μηδέν ή αρνητικό αριθμό. Η Exact έχει μηδενικό σφάλμα και δεν αποτελεί κανονικό σημείο σε τέτοιο γράφημα. Για προσημασμένη ενέργεια και φάση κράτησε γραμμικό κατακόρυφο άξονα.

Το #N/A εδώ αποκρύπτει μη επιτρεπτό σημείο σε log άξονα. Κράτησε τα πραγματικά μηδενικά στις αρχικές μετρήσεις. Αν χρησιμοποιείς LOG10 σε βοηθητικές στήλες, ΜΗΝ ενεργοποιήσεις ξανά log scale: διαφορετικά κάνεις διπλό λογάριθμο. Για χρονοσειρές 600000 βημάτων μπορείς να σχεδιάσεις λιγότερα σημεία για εμφάνιση, αλλά τα max, RMSE, φάση και περίοδος πρέπει να υπολογιστούν από την πλήρη χρονοσειρά.

Για x–v, η θεωρητική τροχιά ικανοποιεί kx²+mv²=2E₀ και είναι έλλειψη. Με m=k=1 και ίση κλίμακα αξόνων φαίνεται κύκλος. Σπειροειδής επέκταση σημαίνει αύξηση ενέργειας. Ακόμη και μια σχεδόν κλειστή καμπύλη δεν αποδεικνύει σωστή φάση: χρειάζεσαι και το γράφημα Δφ(t). Αν επικαλύπτονται μέθοδοι, χρησιμοποίησε Analysis Settings ή χωριστά γραφήματα με δηλωμένες κλίμακες, χωρίς να αποκρύπτεις ανεπιθύμητα αποτελέσματα.

Η κύρια αποτίμηση έργου του paper είναι Cₐ=N·sₘ. Δεν χρειάζεται χρονόμετρο. Για μια πρόσθετη μελέτη πραγματικού χρόνου άνοιξε Performance Study και διάλεξε Cost metric: Median kernel time, Median full-run time ή Acceleration evaluations. Το kernel αφορά τον βρόχο αριθμητικής μεθόδου. Το full-run περιλαμβάνει και τη δημιουργία αποτελεσμάτων/μετρικών. Η σχεδίαση των γραφημάτων και η αναπαραγωγή δεν χρονομετρούνται σε αυτά τα δύο επίπεδα.

Στα παλαιότερα συνοδευτικά φύλλα υπάρχει και εξωτερικό benchmark της αριθμητικής μηχανής: για h=0,1, 20 προθερμάνσεις, 7 παρτίδες των 1000 εκτελέσεων, διάμεσος του χρόνου ανά run των επτά παρτίδων. Δεν είναι το ίδιο πρωτόκολλο με Quick/Research και δεν αναπαράγεται απλώς πατώντας αυτό το κουμπί. Κράτησε τέτοιους χρόνους σε ξεχωριστό πίνακα με σαφή προέλευση, όχι ως δήθεν δικές σου μετρήσεις.

Αν καταγράψεις σε νέο φύλλο Timing A:Method, B:median_kernel_ms, C:N, D:ns_per_step, E:relative_time, με Euler στη γραμμή 2, βάλε D2=B2*1000000/C2 και E2=B2/$B$2 και συμπλήρωσε προς τα κάτω. Για ανεξάρτητα καταγεγραμμένους πέντε χρόνους στα G2:K2, η διάμεσος είναι =MEDIAN(G2:K2). Μην γράφεις πέντε ίδιους αριθμούς αντιγράφοντας μία μόνο διάμεσο: αυτό δεν είναι πέντε μετρήσεις.

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή μετά την ταξινόμηση και περιορίζει την επίδραση μιας τυχαίας καθυστέρησης. Η ακρίβεια των χρονόμετρων, ο φόρτος του υπολογιστή, η μεταγλώττιση και ο browser επηρεάζουν τα timings. Μικρές διαφορές κοντά στη διακριτική ικανότητα του χρονόμετρου δεν στηρίζουν κατάταξη ταχύτητας. Επίσης Cₐ διπλάσιο δεν σημαίνει υποχρεωτικά διπλάσια milliseconds.

Διακρίνουμε τρία επίπεδα: (1) σφάλμα αριθμητικής μεθόδου λόγω πεπερασμένου h, (2) στρογγυλοποίηση πράξεων κινητής υποδιαστολής, (3) στρογγυλοποίηση εξαγωγής και εμφάνισης. Η αύξηση Numeric precision δεν κάνει καλύτερο τον αλγόριθμο· απλώς διατηρεί περισσότερες πληροφορίες στο CSV.

Το Excel διατηρεί περίπου 15 σημαντικά ψηφία αριθμών. Η ρύθμιση export 15 σημαίνει 15 ψηφία ΜΕΤΑ το δεκαδικό σύμβολο. Αυτά δεν είναι το ίδιο. Για x≈1 και διαφορά τάξης 10⁻¹⁴, η αφαίρεση δύο σχεδόν ίδιων στρογγυλοποιημένων θέσεων μπορεί να χάσει σημαντικό ποσοστό του σφάλματος. Τα PositionError_m και τα summary υπολογίζονται στον πυρήνα πριν μορφοποιηθούν οι θέσεις και είναι προτιμότερα για τον συγκεντρωτικό πίνακα των πυκνών σειρών.

Ακόμη και με 15 δεκαδικά, ένα πολύ μικρό σφάλμα περίπου 3,5×10⁻¹⁴ m εξάγεται με λίγα μόνο σημαντικά ψηφία. Μην απαιτείς ακριβή αναπαραγωγή των τελευταίων ψηφίων της επαληθευμένης διπλής ακρίβειας σειράς του paper από το Excel. Κατέγραψε το όριο ακρίβειας. Μηδενικό εξαγόμενο σφάλμα δεν σημαίνει μαθηματικά ακριβή μέθοδο και δεν επιτρέπεται να διαιρεθεί ή να λογαριθμηθεί σαν θετικός αριθμός.

Πριν παραδώσεις, απάντησε: γιατί το h=0,1 έχει 601 δείγματα και 600 βήματα; Γιατί δεν αρκεί η τελική τιμή σφάλματος; Γιατί δεν αφαιρούμε πάντοτε την ακριβή θεωρητική περίοδο 2π στον πίνακα του paper; Γιατί η RK4 μπορεί να έχει μεγαλύτερο έργο ανά βήμα αλλά μικρότερο συνολικό έργο για έναν δεδομένο στόχο σφάλματος; Γιατί τα 600000 βήματα δεν είναι 600000 frames;

Παράδειγμα τεκμηριωμένου συμπεράσματος: «Για το ιδανικό σύστημα m=k=x₀=1, v₀=0, h=0,1 και T=60, η RK4 έδωσε περίπου 500 φορές μικρότερο μέγιστο σφάλμα θέσης από τη Verlet με διπλάσιο Cₐ. Αυτό αφορά το συγκεκριμένο σύστημα, διάστημα και υλοποίηση· δεν αποτελεί μέτρηση ότι είναι ταχύτερη σε κάθε υπολογιστή». Πρόσθεσε τις δικές σου πραγματικές τιμές, όχι απλώς αυτή τη φράση.

Οδηγός έκδοσης 2026-09-15. Το πρωτόκολλο ελέγχθηκε ως προς το πειραματικό μέρος της εργασίας «Όταν τα Μαθηματικά προβλέπουν την κίνηση: Προσομοιώνοντας πραγματικά συστήματα στον υπολογιστή», την επαληθευμένη εξαπλή σειρά του αριθμητικού πυρήνα και τους υπολογισμούς φάσης/περιόδου για h=0,1. Οι πίνακες ελέγχου είναι στρογγυλοποιημένες τιμές αναφοράς, όχι υποκατάστατο συλλογής δεδομένων.